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3.2.6 線形代数の基本操作

NumPy 線形代数ツールボックス

学習目標​

  • 行列積の3つの書き方（dot、matmul、@）を身につける
  • 逆行列、行列式、固有値の意味と計算方法を理解する
  • numpy.linalg モジュールを使って線形代数計算ができるようになる
  • 線形代数が AI で重要な理由を理解する

なぜ線形代数を学ぶの？​

「線形代数」と聞くと、数学っぽくて抽象的に感じるかもしれません。ですが、AI の分野ではもっとも重要な数学の基礎です。

AI の場面線形代数の役割
ニューラルネットワーク各層の計算は行列積そのもの
レコメンドシステムユーザー-商品行列の分解
画像処理1枚の画像は行列として表せる
単語ベクトル各単語はベクトル、類似度 = 内積
次元削減PCA は固有値と固有ベクトルを求める処理

まずは NumPy でこれらの概念を触って、感覚をつかみましょう。4 AI 数学の最小必要基礎で、原理をさらに詳しく説明します。

行列積​

要素ごとの掛け算 vs 行列積​

ここは初心者がいちばん混同しやすいポイントです。

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])

# 要素ごとの掛け算（同じ位置どうしを掛ける）
print(A * B)
# [[ 5 12]
#  [21 32]]
# 計算過程：1×5=5, 2×6=12, 3×7=21, 4×8=32

# 行列積
print(A @ B)
# [[19 22]
#  [43 50]]
# 計算過程：
# [1×5+2×7, 1×6+2×8]   = [19, 22]
# [3×5+4×7, 3×6+4×8]   = [43, 50]

行列積の3つの書き方​

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])

# 方法 1：@ 演算子（おすすめ、いちばん簡潔）
C1 = A @ B

# 方法 2：np.matmul
C2 = np.matmul(A, B)

# 方法 3：np.dot
C3 = np.dot(A, B)

# 3つの方法は結果がまったく同じ
print(np.array_equal(C1, C2))  # True
print(np.array_equal(C2, C3))  # True
@ を使うのがおすすめ

Python 3.5+ では、@ 演算子が行列積の書き方としてもっともおすすめです。簡潔で見やすいです。

行列積のルール​

2つの行列が掛け算できる条件は、前の列数 = 後ろの行数 です。

# (2, 3) @ (3, 4) → (2, 4)  ✅ 3 == 3
A = np.ones((2, 3))
B = np.ones((3, 4))
C = A @ B
print(C.shape)   # (2, 4)

# (2, 3) @ (2, 4) → ❌ エラー！3 ≠ 2
# A = np.ones((2, 3))
# B = np.ones((2, 4))
# C = A @ B  # ValueError!

覚え方：(m, n) @ (n, p) → (m, p)

ベクトルの内積​

1次元配列の @ や np.dot は、内積（点積）を計算します。

a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])

# 内積 = 1×4 + 2×5 + 3×6 = 32
print(a @ b)        # 32
print(np.dot(a, b)) # 32

内積は AI でとても重要です。あとで学ぶコサイン類似度やAttention 機構でも使います。

numpy.linalg モジュール​

NumPy の linalg サブモジュールには、線形代数の機能がひと通りそろっています。

逆行列​

行列の逆行列は A × A⁻¹ = 単位行列 を満たします。

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# 逆行列を求める
A_inv = np.linalg.inv(A)
print(A_inv)
# [[-2.   1. ]
#  [ 1.5 -0.5]]

# 確認：A × A_inv ≈ 単位行列
print(A @ A_inv)
# [[1.0000000e+00 0.0000000e+00]
#  [8.8817842e-16 1.0000000e+00]]
# 対角線は 1、それ以外は 0 に近い（浮動小数点の誤差）
すべての行列に逆行列があるわけではない

逆行列があるのは、正方行列（行数 = 列数）で、かつ行列式が 0 ではない行列だけです。

# 特異行列（行列式が 0）には逆行列がない
singular = np.array([[1, 2], [2, 4]])  # 2行目は1行目の2倍
# np.linalg.inv(singular)  # LinAlgError: Singular matrix

行列式​

行列式はスカラー値で、行列の「拡大・縮小の度合い」を表します。

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
det = np.linalg.det(A)
print(f"行列式: {det:.1f}")   # -2.0

# 2×2 行列の行列式 = ad - bc
# [[a, b], [c, d]] → 1×4 - 2×3 = -2

固有値と固有ベクトル​

固有値と固有ベクトルは、行列の「DNA」のようなものです。行列の内側にある性質を教えてくれます。

A = np.array([[4, 2], [1, 3]])

# 固有値と固有ベクトルを求める
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)
print(f"固有値: {eigenvalues}")      # [5. 2.]
print(f"固有ベクトル:\n{eigenvectors}")
# [[ 0.894 -0.707]
#  [ 0.447  0.707]]
固有値のイメージ

行列を「変換」（たとえば回転や伸縮）だと考えると、

  • 固有ベクトル = 変換しても向きが変わらないベクトル
  • 固有値 = その方向にどれだけ伸び縮みするかを表す値

この考え方は、あとで PCA による次元削減を学ぶときにとても役立ちます。PCA は本質的に、データがいちばん大きく変化する方向（最大の固有値に対応する固有ベクトル）を見つける方法です。

連立一次方程式を解く​

方程式を解く：
2x + y = 5
x + 3y = 7

行列形式では Ax = b と書けます。

A = np.array([[2, 1], [1, 3]])
b = np.array([5, 7])

# 方程式を解く
x = np.linalg.solve(A, b)
print(f"x = {x[0]:.2f}, y = {x[1]:.2f}")  # x = 1.60, y = 1.80

# 確認
print(A @ x)   # [5. 7.]  ← b と一致するので、解は正しい

そのほかの便利な操作​

ノルム（ベクトルの長さ）​

v = np.array([3, 4])

# L2 ノルム（ユークリッド距離）
l2 = np.linalg.norm(v)
print(f"L2 ノルム: {l2}")   # 5.0  (3² + 4² = 25, √25 = 5)

# L1 ノルム（絶対値の和）
l1 = np.linalg.norm(v, ord=1)
print(f"L1 ノルム: {l1}")   # 7.0  (|3| + |4| = 7)

# 行列のノルム
M = np.array([[1, 2], [3, 4]])
print(f"行列の Frobenius ノルム: {np.linalg.norm(M):.2f}")  # 5.48

行列のランク​

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
rank = np.linalg.matrix_rank(A)
print(f"行列のランク: {rank}")  # 2（フルランクではない。3行目 = 1行目×(-1) + 2行目×2）

よく使う関数一覧​

関数役割例
A @ B行列積np.array([[1,2],[3,4]]) @ np.eye(2)
np.linalg.inv(A)逆行列
np.linalg.det(A)行列式
np.linalg.eig(A)固有値と固有ベクトル
np.linalg.solve(A, b)方程式 Ax=b を解く
np.linalg.norm(v)ノルム
np.linalg.matrix_rank(A)行列のランク
A.T転置
np.trace(A)トレース（対角線の和）

実践：コサイン類似度を計算する​

コサイン類似度は、AI で 2 つのベクトルの「似ている度合い」を測る定番の方法です。あとで学ぶ単語ベクトル、レコメンドシステム、RAG でも何度も使います。

公式：cos(θ) = (a · b) / (||a|| × ||b||)

import numpy as np

def cosine_similarity(a, b):
    """2つのベクトルのコサイン類似度を計算する"""
    dot_product = a @ b                         # 内積
    norm_a = np.linalg.norm(a)                  # a の長さ
    norm_b = np.linalg.norm(b)                  # b の長さ
    return dot_product / (norm_a * norm_b)

# 例：ユーザーの興味を比較する
# 各次元は [技術, スポーツ, 音楽, 映画, グルメ]
user_a = np.array([5, 1, 3, 4, 2])   # 技術と映画が好き
user_b = np.array([4, 2, 3, 5, 1])   # 技術と映画が好き
user_c = np.array([1, 5, 2, 1, 4])   # スポーツとグルメが好き

print(f"A と B の類似度: {cosine_similarity(user_a, user_b):.4f}")  # 0.9631 とても似ている
print(f"A と C の類似度: {cosine_similarity(user_a, user_c):.4f}")  # 0.5528 あまり似ていない
print(f"B と C の類似度: {cosine_similarity(user_b, user_c):.4f}")  # 0.5025 あまり似ていない

まとめ​

概念説明NumPy 関数
行列積(m,n) @ (n,p) → (m,p)A @ B または np.matmul
逆行列A × A⁻¹ = Inp.linalg.inv()
行列式行列の拡大・縮小の度合いnp.linalg.det()
固有値/ベクトル行列の「DNA」np.linalg.eig()
方程式を解くAx = b を解くnp.linalg.solve()
ノルムベクトルの長さnp.linalg.norm()
どこまで理解できれば十分？

この段階では、次の3つができれば十分です。

  1. NumPy の線形代数関数を使える
  2. 行列積、逆行列、固有値がざっくり何か分かる
  3. コサイン類似度を計算できる

深い数学の理解は、4 AI 数学の最小必要基礎で体系的に学びます。今はまず、コードに慣れることを大切にしましょう。

手を動かしてみよう​

練習 1：行列積​

# ある店の 3 種類の商品価格
prices = np.array([10, 25, 8])   # [りんご, ステーキ, パン]

# 3 人の客の購入数
quantities = np.array([
    [3, 1, 2],    # 顧客 1: りんご3個 + ステーキ1つ + パン2個
    [0, 2, 5],    # 顧客 2
    [5, 0, 3]     # 顧客 3
])

# 行列積を使って、それぞれの合計金額を計算する
# totals = ?

練習 2：方程式を解く​

# 次の連立方程式を解く：
# 3x + 2y - z = 1
# x - y + 2z = 5
# 2x + 3y - z = 0
#
# ヒント：Ax = b の形に書き直す

練習 3：コサイン類似度の応用​

# 5本の映画の特徴ベクトルがあるとします
# 各次元は [アクション, コメディ, 恋愛, SF, ホラー]
movies = {
    "アベンジャーズ": np.array([5, 2, 1, 4, 0]),
    "タイム・イズ・マネー":       np.array([1, 5, 2, 0, 0]),
    "タイタニック": np.array([1, 0, 5, 0, 1]),
    "インターステラー":   np.array([3, 0, 2, 5, 0]),
    "新感染 ファイナル・エクスプレス":     np.array([4, 0, 1, 1, 5]),
}

# コサイン類似度を使って、「アベンジャーズ」といちばん似ている映画を見つける
# ヒント：「アベンジャーズ」と他の各映画のコサイン類似度を計算する