4.1.1 線形代数ロードマップ：データはベクトル、バッチは行列

線形代数は、AI がデータを表し、変換するための言語です。証明の暗記から始めず、まず各オブジェクトがコードで何をするかを見ます。

まずマップを見る

この小章の流れです。

概念	AI での最初の意味
ベクトル	1つの対象を数値列で表す
行列	複数のベクトルを積む、または変換を表す
内積	対応する位置を掛けて合計する
行列積	多くの内積を一度に行う
固有値/固有ベクトル	重要な方向。PCA の直感に使う

最小ループを動かす

linear_algebra_first_loop.py を作り、numpy をインストールしてから実行します。

import numpy as np

student = np.array([90, 85, 92])
students = np.array(
    [
        [90, 85, 92],
        [70, 88, 75],
        [95, 91, 89],
    ]
)
weights = np.array([0.4, 0.2, 0.4])

single_score = student @ weights
all_scores = students @ weights

print("student_vector:", student)
print("matrix_shape:", students.shape)
print("single_score:", round(single_score, 2))
print("all_scores:", all_scores.round(2))

出力の要約：

項目	値
student_vector	[90 85 92]
matrix_shape	(3, 3)
single_score	89.8
all_scores	[89.8 75.6 91.8]

@ ではなく * を使うと、重み付きスコアではなく要素ごとの掛け算になります。最初にここを区別できるとかなり楽になります。

残す証拠

このページを終えたら、この evidence card を残します。

数学対象

ベクトル、行列、固有値、基底、またはベクトル空間の概念

数値例

これを計算するために使う小さな数値または NumPy のスニペット

可視化または出力

形状、変換後の点、類似度スコア、固有方向、または射影

AI との関係

これが embeddings、バッチ、PCA、ニューラル層、または attention のどこに現れるか

期待される成果

計算と、それを AI の操作に結びつける1文

この順番で学ぶ

順番	読む	まず見ること
1	4.1.2 ベクトル	対象 -> ベクトル、長さ、内積、コサイン類似度
2	4.1.3 行列	バッチデータ、行列積、X @ W + b
3	4.1.4 固有値と固有ベクトル	特別な方向、PCA の直感
4	4.1.5 ベクトル空間	基底、次元、線形変換

合格ライン

1つのサンプルがベクトル、バッチが行列である理由、@ が何をするか、そして RAG 類似度、PCA、ニューラルネットワーク層に再登場する理由を説明できれば合格です。

確認の考え方と解説

• 線形代数ルートを通過できる目安は、X @ W を shape の操作としても、内積のバッチとしても読めることです。
• 証拠として、ベクトル類似度の例、行列変換の例、PCA または固有ベクトルの図、SVD または rank チェックを 1 つずつ残します。
• 大事なのは記号の美しさではなく、方向、長さ、次元、冗長性がどう変わったかを説明できることです。